LINEARE ALGEBRA & MATRIZENRECHNUNG

LINEARE ALGEBRA & MATRIZENRECHNUNG

Definition:

Ein rechteckiges Zahlenschema (d.h. die Elemente a_ik sind reelle Zahlen) der Form

heißt (m,n)-Matrix, d.h. sie besitzt m Zeilen und n Spalten. Der erste Index i heißt der Zeilenindex und der zweite Index k heißt Spaltenindex.

Definition:

Vertauscht man in einer (m,n)-Matrix A die Zeilen mit den entsprechenden Spalten, dann heißt die entstehende Matrix A^t die zu A transponierte Matrix

Definition:

Ist A^t = A, so heißt A symmetrisch.

Definition:

Eine Matrix mit sämtlichen Elementen gleich 0, heißt Nullmatrix.

Definition:

a) Eine Matrix, deren Zeilen- und Spaltenanzahl gleich ist (m=n), heißt quadratische Matrix.

b) Bei einer quadratischen (n,n)-Matrix bilden die Elemente a₁₁, a₂₂, ... , a_nn die Hauptdiagonale.

c) Sind alle Elemente einer quadratischen Matrix unterhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, so spricht man von einer oberen Dreiecksmatrix.

d) Sind alle Elemente einer quadratischen Matrix oberhalb der Hauptdiagonalen gleich 0, so spricht man von einer unteren Dreiecksmatrix.

e) Sind alle Nicht-Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix gleich 0, so spricht man von einer Diagonalmatrix.

f) Sind alle Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0, so spricht man von einer Einheitsmatrix.

Definition:

Zwei Matrizen A_{m1 n1} und B_{m2 n2} heißen genau dann gleich (A = B) , wenn

a) m1 = m2 und n1 = n2

b) für alle i=1,2...m1 und k=1,2...n1 gilt a_ik = b_ik.

Definition:

a) Zwei Matrizen gleicher Ordnung, d.h. zwei Matrizen mit jeweils gleicher Zeilen- und Spaltenzahl, werden addiert, indem man die entsprechenden, d.h. an gleicher Stelle stehenden, Elemente addiert.

A_{m n} + B_{m n} = (a_jk) + (b_jk) = (a_jk + b_jk)

b) Die Subtraktion erfolgt analog: Zwei Matrizen gleicher Ordnung, d.h. zwei Matrizen mit jeweils gleicher Zeilen- und Spaltenzahl, werden subtrahiert, indem man die entsprechenden, d.h. an gleicher Stelle stehenden, Elemente subtrahiert.

A_{m n} - B_{m n} = (a_jk) - (b_jk) = (a_jk - b_jk)

Satz:

Einige für reelle Zahlen geltende Gesetze lassen sich elementeweise auf Matrizen übertragen:

Definition:

Zur Unterscheidung zu Matrizen nennt man in der linearen Algebra die Zahlen selbst (d.h. quasi Matrizen mit nur einer Zeile und einer Spalte) Skalare.

Definition:

Eine Matrix A wird mit einem Skalar s multipliziert, indem man jedes Element von A mit s multipliziert:

s . A = s . (a_ik) = (s . a_ik)

Satz:

Wieder lassen sich einige für reelle Zahlen geltende Gesetze elementeweise auf Matrizen übertragen:

Definition:

a) Die beiden Matrizen A und B werden also multipliziert, indem man der Reihe nach die Elemente der Zeilen der ersten Matrix A mit den entsprechenden Elementen der Spalten der zweiten Matrix B multipliziert, diese Produkte addiert und die Summe der Produkte in die durch Zeilen- und Spaltenindex bestimmte Stelle der Produktmatrix übernimmt.

b) Die Multiplikation kann nur dann ausgeführt werden, wenn die folgende Verträglichkeitsbedingung gilt: Die Spaltenzahl der ersten Matrix A ist gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix B. Man kann auch schreiben: (n,m)-Matrix . (m,k)-Matrix = (n,k)-Matrix.

Bemerkung:

(A . B)^t = B^t . A^t

(A B) C = A (B C) Assoziativgesetz

(A + B) C = A C + B C Distributivgesetze

A (B + C) = A B + A C

Aⁿ=AA...A Sei A eine quadratische Matrix

Definition:

Eine Matrix, die nur aus einer Spalte (Zeile) besteht, heißt Spaltenvektor (Zeilenvektor).

Definition:

Seien a und b zwei Spaltenvektoren mit m Komponenten. Die spezielle Matrizenmultiplikation heisst skalares Produkt der Vektoren a^t und b. (auch “inneres Produkt” genannt)

Definition:

Der Betrag eines Zeilenvektors a=(a₁ a₂ ... a_m) ist definiert durch

Definition:

a) Vektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren.

b) Vektoren mit dem Betrag 0 heißen Nullvektoren; alle Komponenten eines Nullvektors sind Null

c) Vektoren, bei denen alle Komponenten 1 sind, heißen summierende Vektoren.

Definition:

a) Sind die Vektoren a_i (i=1,...,n) und die Skalare s_i (i=1,...,n) gegeben, dann heißt der Ausdruck Linearkombination der Vektoren a_i.

b) Gilt zusätzlich s_i 0 und Ss_i=1, so heißt es konvexe Linearkombination.

Definition:

n Vektoren x₁, x₂,...,x_n heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung 0=Ss_i x_i (0 hier als Nullvektor!) nur erfüllt ist, wenn für alle s_i = 0 gilt.

Definition:

n linear unabhängige Vektoren mit n Komponenten heißen auch Basisvektoren. Sie bilden eine Basis des Rⁿ.

Satz:

Jeder Vektor a = (a₁ a₂ ... a_n) mit n Komponenten lässt sich eindeutig als Linearkombination der n Basisvektoren e₁, e₂, ..., e_n darstellen in der Form

a = a₁ e₁ + a₂ e₂ + ...+ a_n e_n

Bemerkung:

Man nennt in einem beliebigen Vektorraum die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren die Dimension des

Vektorraumes. Die Dimension von Rⁿ ist n.

Definition:

m Gleichungen der Form

bezeichnet man als lineares Gleichungssystem.

Es besitzt n Variable x_j (j = 1, 2, ..., n), n . m Koeffizienten a_ij (i = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., n) und m absolute Glieder b_i (i = 1, 2, ..., m ). Falls b₁ = b₂ = ... = b_m = 0 , so heißt das Gleichungssystem homogen. Andernfalls nennt man es inhomogen.

Definition:

Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie genau dieselbe Lösungsmenge besitzen.

Bemerkung:

Überlegen wir einmal, welche Umformungen wir an einem Gleichungssystem vornehmen dürfen, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert: Die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems ändert sich nicht, wenn wir

(1.) eine Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren

(2.) eine Gleichung (oder ein Vielfaches davon) zu einer anderen addieren (oder subtrahieren).

(3.) die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen.

Gauß’scher Algorithmus:

Gegeben sei ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen

Schritt 1:

Falls a₁₁ 0 muss nichts mehr gemacht werden. Falls a₁₁ = 0, so werden die Gleichungen derart umsortiert, dass in der linken oberen Ecke ein von Null verschiedener Wert steht. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass a11 0.

Schritt 2:

Man dividiert die erste Gleichung durch ihren ersten Koeffizienten (d.h. a₁₁ oder den nach dem Umsortieren dort stehenden - von Null verschiedenen - Wert a_j1).

Schritt 3:

Nun wird von jeder der Gleichungen i = 2,...,n das a_i1-fache der ersten Gleichung abgezogen.

Die Gleichungen 2 bis n bilden nun ein Gleichungssystem, in dem die Variable x₁ nicht mehr auftritt. Auf diese (n-1) Gleichungen können wir nun wieder die Schritte 1 bis 3 anwenden und erhalten eine Gleichung, die die Variablen x₂ bis xn enthält und (n-2) Gleichungen mit den Variablen x₃ bis x_n. Nach n Durchläufen haben wir also ein Gleichungssystem in Dreiecksgestalt.

Wir müssen also nur den Gauß-Algorithmus bzw. die vollständige Elimination durchrechnen, um zu erkennen, ob bzw. wie viele Lösungen ein Gleichungssystem besitzt.

Lässt sich die linke Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt bzw. Einheitsmatrix umformen, so existiert eine eindeutige Lösung.
Ergeben sich Zeilen, die sowohl im rechten als auch im linken Teil der erweiterten Matrix nur Nullen aufweisen, so liegen unendlich viele Lösungen vor.
Ergibt sich mindestens eine Zeile, die auf der linken Seite nur Nullen, aber auf der rechten Seite von Null verschiedene Zahlen aufweist, so gibt es keine Lösung.

Definition:

Sei A eine quadratische n x n - Matrix. Eine Matrix B, für die gilt