Rastgele Etkili Model
Rastgele Etkili Model
Örnek
Bir tekstil atölyesinin çok sayıda dokuma tezgahı vardır. Her bir tezgahın dakikada aynı kumaş çıktısı sağladığı varsayılıyor. Bu varsayımı araştırmak için 5 tezgah rastgele seçiliyor ve çıktıları farklı zamanlarda ölçülüyor. Aşağıdaki veriler elde ediliyor.
## çıktılar çıktılar çıktılar çıktılar çıktılar
## 1. Tezgah 1.80 1.77 1.90 1.60 1.72
## 2. Tezgah 1.90 1.72 1.91 1.72 1.60
## 3. Tezgah 1.91 1.77 1.90 1.80 1.77
## 4. Tezgah 1.80 1.80 1.80 1.77 1.72
## 5. Tezgah 1.90 1.80 1.77 1.68 1.80Bu veri için
a) ANOVA tablosunu oluşturarak \(H_{0}:\sigma^2_{\tau}=0\) \(H_{1}:\sigma^2_{\tau} \neq 0\) hipotezlerini test ederek yorumlayınız.
b) \(\sigma^2\) ve \(\sigma^2_{\tau}\) için tahmin edicileri bulunuz.
c) \(\sigma^2\), \(\sigma^2_{\tau}/(\sigma^2+\sigma^2_{\tau})\) ve \(\mu\) için %95 lik güzen aralıkları oluşturunuz.
d) ANOVA’nın varsayımlarını kontrol ediniz.
ÇÖZÜM
y<- c(1.80,1.90,1.91,1.80,1.90,1.77,1.72,1.77,1.80,1.80,1.90,1.91,1.90,1.80,1.77,1.60,1.72,1.80,1.77,1.68,1.72,1.60,1.77,1.72,1.80)
tezgah<- factor(rep(1:5, each= 5))
data<- data.frame(y,tezgah)
str(data)## 'data.frame': 25 obs. of 2 variables:
## $ y : num 1.8 1.9 1.91 1.8 1.9 1.77 1.72 1.77 1.8 1.8 ...
## $ tezgah: Factor w/ 5 levels "1","2","3","4",..: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ...stripchart(y ~ tezgah, vertical = TRUE, pc=1, xlab = "tezgah")
boxplot(y ~ tezgah) 
a) ANOVA tablosu sabit etkili modelde olduğu gibi oluşturulur.
anova<-aov(y ~ tezgah)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## tezgah 4 0.10074 0.025186 6.107 0.00222 **
## Residuals 20 0.08248 0.004124
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1ANOVA tablosuna göre \(p-value=0.00222<0.05\) olduğundan \(H_{0}:\sigma^2_{\tau}=0\) hipotezi red edilir. Böylece, tezgahların kumaş çıktıları arasında anlamlı bir farklılık vardır.
b)
Rastgele etki modeli için “lme4” paketindeki “lmer” fonksiyonunu kullanacağız.
library(lme4)
random_anova <- lmer(y ~ (1 | tezgah), data = data)
summary(random_anova)## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: y ~ (1 | tezgah)
## Data: data
##
## REML criterion at convergence: -53.2
##
## Scaled residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.0609 -0.7110 -0.0648 0.7875 1.1576
##
## Random effects:
## Groups Name Variance Std.Dev.
## tezgah (Intercept) 0.004212 0.06490
## Residual 0.004124 0.06422
## Number of obs: 25, groups: tezgah, 5
##
## Fixed effects:
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 1.78520 0.03174 56.24Rastgele etki modeli olduğu için lmer de “(1 | tezgah)” kullanırız. Farklı modeller için (mixed effect gibi) bu fonksiyon kullanılabilir.
Bu sonuca göre varyanslar için tahmin ediciler \(\widehat{\sigma}^2_{\tau}=0.004212\) ve \(\widehat{\sigma}^2=0.004124\) bulunur.
Ayrıca, \(\widehat{\sigma}^2_{\tau}/(\widehat{\sigma}^2+\widehat{\sigma}^2_{\tau})=0.004212/(0.004212+0.004124)=0.5052783\) bulunur.
Bu oran bize tezgah türlerindeki farklılığın ürün çıktısındaki farklılığın ne kadarını açıkladığını söyler.
Böylece, kumaş çıktısındaki farklılığın %50,5 i tezgah türündeki farklılıktan kaynaklanmaktadır.
c)
confint(random_anova) ile tam olarak hesaplayamadığımız \(\sigma^2_{\tau}\) için yaklaşık güven aralığı bulunur.
confint(random_anova)## 2.5 % 97.5 %
## .sig01 0.02181814 0.1353173
## .sigma 0.04848987 0.0907209
## (Intercept) 1.71694536 1.8534546Sonuçtaki ilk satır \(\sigma^2_{\tau}\) için %95 lik yaklaşık güven aralığıdır ve \(0.02181814 \leq \sigma^2_{\tau} \leq 0.1353173\) bulunur.
Ayrıca, son satırdan (lineer modeldeki eğim katsayısı gibidir) \(\mu\) için %95 lik güven aralığı \(1.71694536 \leq \mu \leq 1.8534546\) olarak bulunur.
d)
Normallik varsayımı için artıkları kullanırız. Bu modeldeki artıklarımız aşağıdaki gibidir.
residuals(anova)## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
## -0.062 0.038 0.048 -0.062 0.038 -0.002 -0.052 -0.002 0.028 0.028 0.044
## 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
## 0.054 0.044 -0.056 -0.086 -0.114 0.006 0.086 0.056 -0.034 -0.002 -0.122
## 23 24 25
## 0.048 -0.002 0.078Aşağıda normallik için 5 farklı test uygulanmıştır. Kolmogorov-Smirnov, Shapiro Wilk, Liiliefor, Anderson-Darling ve Cramer-Von Mises testleri.
ks.test(residuals(anova),"pnorm",mean(residuals(anova)),sd(residuals(anova)))##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: residuals(anova)
## D = 0.16639, p-value = 0.4931
## alternative hypothesis: two-sidedshapiro.test(residuals(anova))##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(anova)
## W = 0.92925, p-value = 0.08352library(nortest)
lillie.test(residuals(anova)) ##
## Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
##
## data: residuals(anova)
## D = 0.16639, p-value = 0.07235library(goftest)
ad.test(residuals(anova),"pnorm",mean=mean(residuals(anova)),sd=sd(residuals(anova)),estimated=TRUE)##
## Anderson-Darling test of goodness-of-fit
## Braun's adjustment using 5 groups
## Null hypothesis: Normal distribution
## with parameters mean = -3.60930903220424e-18, sd = 0.058623089876487
## Parameters assumed to have been estimated from data
##
## data: residuals(anova)
## Anmax = 2.0806, p-value = 0.3604cvm.test(residuals(anova),"pnorm",mean=mean(residuals(anova)),sd=sd(residuals(anova)),estimated=TRUE)##
## Cramer-von Mises test of goodness-of-fit
## Braun's adjustment using 5 groups
## Null hypothesis: Normal distribution
## with parameters mean = -3.60930903220424e-18, sd = 0.058623089876487
## Parameters assumed to have been estimated from data
##
## data: residuals(anova)
## omega2max = 0.14743, p-value = 0.9273Bu sonuçlara göre normallik varsayımı sağlanır.
Varyansların homejenliğini Bartlett ve Levene testleri ile kontrol edelim.
bartlett.test(y ~ tezgah)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: y by tezgah
## Bartlett's K-squared = 2.9051, df = 4, p-value = 0.5738library(car)
leveneTest(y, tezgah) #medyana göre## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
## Df F value Pr(>F)
## group 4 0.3872 0.8152
## 20leveneTest(y, tezgah,mean) #ortalamaya göre## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
## Df F value Pr(>F)
## group 4 1.0158 0.423
## 20Bu sonuçlara göre homojen varyanslılık varsayımı da sağlanmış olur.